Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 7. Комплексные числа
>>
параграф 1. Комплексная плоскость
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?
Докажите равенство
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2 в точке C и пересекает S1 в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .
Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной?
Точка D – середина бокового ребра CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 . Прямые AB1 , BC и DA1 попарно перпендикулярны. Найдите высоту призмы, если AB = BC= AB1 =a .
Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.
Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую
точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении
2:6:1, считая от центра одного из оснований. Найдите объём цилиндра, если
известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на
расстоянии друг от друга.
Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?
Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = x² – 1, ... задается условием
Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?
Задачи Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]
Задача 61105 (#07.041) |
|
|
Известно, что sin α = 3/5. Докажите, что sin 25α имеет вид n/525, где n – целое, не делящееся на 5.
|
|
Решение |
Задача 61106 (#07.042) |
|
|
Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = x² – 1, ... задается условием
Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?
|
|
Решение |
Задача 61107 (#07.043) |
|
|
Докажите равенство
|
|
|
Решение |
Задача 61108 (#07.044) |
|
|
Известно, что z + z–1 = 2 cos α.
а) Докажите, что zn + z–n = 2 cos nα.
б) Как выражается zn + z–n через y = z + z–1?
|
|
|
Решение |
Задача 61109 (#07.045) |
|
|
При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа x = cos α получаются значения
|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 83]
