Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$ , что $AP=PB$ , $BQ=QC$ . Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$ .

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$ . Докажите, что $MN\perp OS$ , где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$ .

Решение

Пусть уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

Решение

Сумма трёх положительных углов равна 90^o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

Решение

Автор: Петухов А.В.

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

Решение

Докажите, что если корни многочлена f(x) = x³ + ax² + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Решение

При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения x³ – x – a = 0.

Решение

Задача 61262 (#09.011)

Задача 61263 (#09.012)

Задача 61264 (#09.013)

Задача 61265 (#09.014)

Задача 61266 (#09.015)