Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

   Решение

Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

   Решение

Сумма трёх положительных углов равна 90^o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

   Решение

В стране Далёкой провинция называется крупной, если в ней живёт более 7% жителей этой страны. Известно, что для каждой крупной провинции найдутся такие две провинции с меньшим населением , что их суммарное население больше, чем у этой крупной провинции. Какое наименьшее число провинций может быть в стране Далёкой?

   Решение

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

   Решение

При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения  x³ – x – a = 0.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

Получите формулу для корня уравнения  x³ + px + q = 0:
    x = + .

Прислать комментарий

Решение

Решите уравнение  x³ + x – 2 = 0  подбором и по формуле Кардано.

Прислать комментарий

Решение

Выпишите уравнение, корнем которого будет число     Запишите число α без помощи радикалов.

Прислать комментарий

Решение

При всех значениях параметра a найдите число действительных корней уравнения  x³ – x – a = 0.

Прислать комментарий

Решение

Решите уравнение     Сколько действительных корней оно имеет?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]