Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ – биссектрисы. Докажите, что $\angle B'A'C'\leq 60^{\circ}$.

   Решение

---

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

   Решение

---

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61277  (#09.026)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61278  (#09.027)

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61279  (#09.028)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y₁ = tg ,   y₂ = tg ,   y₃ = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61280  (#09.029)

Тема:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  x⁴ = Ax² + Bx + C.     (*)
  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²).     (**)
    Докажите, что для некоторого  α > – ^A/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
  в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями