Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Вниз   Решение


а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A1, B1, C1 – проекции X на BC, CA, AB, а A2, B2, C2 – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A1, B1, C1 на, соответственно, B2C2, C2A2, A2B2, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

ВверхВниз   Решение


Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.

ВверхВниз   Решение


Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число  aba  также делится на 7.

ВверхВниз   Решение


а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, что  AD : DC = AB : BC.

б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA1 в отношении  AO : OA1 = (b + c) : a,  где a, b, c  – длины сторон треугольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x) уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



Задача 61320  (#09.070)

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ]
[ Итерации ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x) уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61321  (#09.071)

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Решите уравнение $ \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$ = x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61322  (#09.072)

 [Арифметико-геометрическое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём  a < b.  Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается  μ(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61323  (#09.073)

 [Арифметико-гармоническое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Лемма о вложенных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {bn} связана с последовательностью {xn} из задачи 61299?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61324  (#09.074)

 [Геометрико-гармоническое среднее]
Темы:   [ Средние величины ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).
Обозначим его через  ν(a, b).  Докажите, что величина  ν(a, b)  связана с  μ(a, b)  (см. задачу 61322) равенством  ν(a, b)·μ(1/a, 1/b) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .