Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?

   Решение

---

8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.

   Решение

---

Найдите какое-нибудь такое девятизначное число N, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из N вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.

   Решение

---

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

   Решение

---

В вершинах шестиугольника записаны числа 12, 1, 10, 6, 8, 3 (в таком порядке). За один ход разрешено выбрать две соседние вершины и к числам, стоящим в данных вершинах, одновременно прибавить единицу или одновременно вычесть из них единицу. Можно ли получить в итоге шесть чисел в таком порядке:
а) 14, 6, 13, 4, 5, 2; б) 6, 17, 14, 3, 15, 2?

   Решение

---

Дан четырёхугольник; A, B, C, D — последовательные середины его сторон, P, Q — середины диагоналей. Доказать, что треугольник BCP равен треугольнику ADQ.

   Решение

---

В одном из узлов шестиугольника со стороной n , разбитого на правильные треугольники (см. рис.) , стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

---

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x₀ такое, что f (x₀)x₀ и x₂ = x₀.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61331  (#09.081)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   x_n+1 = x_n – = .  Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61332  (#09.082)

Темы:   [ Производная и касательная ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x₀ такое, что f (x₀)x₀ и x₂ = x₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61333  (#09.083)  [Метод Лобачевского]

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Итерации ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  имеет корни  x₁, x₂, ..., x_n,  причем  |x₁| > |x₂| > ... > |x_n|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P₀(x), P₁(x), P₂(x), ...,  что  P₀(x) = P(x)  и многочлен P_k(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61334  (#09.084)  [Метод Лобачевского и числа Люка]

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Итерации ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если  |x₁| > |x₂|?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61335  (#09.085)  [Метод Архимеда]

Темы:   [ Окружности (прочее) ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями