Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 2. Рекуррентные последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Вниз   Решение

Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так она бегала до тех пор, пока охотники не встретились. Сколько километров она пробежала?

ВверхВниз   Решение

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно.
Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

ВверхВниз   Решение

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

ВверхВниз   Решение

Пловец плывёт вверх против течения Невы. Возле Дворцового моста он потерял пустую фляжку. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил потерю и вернулся догонять флягу; догнал он её возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

ВверхВниз   Решение

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

ВверхВниз   Решение

Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

ВверхВниз   Решение

Точка P лежит внутри треугольника ABC, причём   ∠ABP = ∠ACP.  На прямых AB и AC взяты такие точки C1 и B1, что  BC1 : CB1 = CP : BP.  Докажите, что одна из диагоналей параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых BP и CP, а две другие стороны (или их продолжения) проходят через B1 и C1, параллельна BC.

ВверхВниз   Решение

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

ВверхВниз   Решение

Найдите у чисел   а)  (6 + )1999;   б)  (6 + )1999;   в)  (6 + )2000   первые 1000 знаков после запятой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

Задача 61473  (#11.046)

 [Лягушка-путешественница]
Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61474  (#11.047)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Дискретное распределение ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
  а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
  б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
  в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
  г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61475  (#11.048)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61476  (#11.049)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61477  (#11.050)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Десятичные дроби ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите у чисел   а)  (6 + )1999;   б)  (6 + )1999;   в)  (6 + )2000   первые 1000 знаков после запятой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .