Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан куб с ребром длины n см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?

   Решение

---

В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.

   Решение

---

Дан треугольник ABC и такая точка F, что  ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA.  Прямая, проходящая через F и перпендикулярная BC, пересекает медиану, проведённую из вершины A, в точке A₁. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC.

   Решение

---

Докажите тождество:

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61492  (#11.065)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61493  (#11.066)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61493  (#11.067)

Темы:   [ Производящие функции ] [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть a_n – число решений уравнения  x₁ + ... + x_k = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности a_n.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)^k = (1 – x)^–k.
  б) Найдите формулу для a_n, пользуясь задачей 61490.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61495  (#11.068)

Темы:   [ Формальные степенные ряды ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите тождество:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61496  (#11.069)  [Бином Ньютона для отрицательных показателей]

Тема:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства

  а)  

  б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями