Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 64365 (#11.7)

Темы:	[	Взвешивания	]
Темы:	[	Системы счисления (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Подлипский О.К.

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64351 (#9.8)

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Берлов С.Л.

Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков (повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64358 (#10.8)

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Фон-дер-Флаас Д.

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64366 (#11.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]