Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64349  (#9.6)

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64356  (#10.6)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Петя и Вася придумали десять многочленов пятой степени. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из многочленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке). Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64364  (#11.6)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию   2(a + b + c + d) ≥ abcd.   Докажите, что  a² + b² + c² + d² ≥ abcd.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64350  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Радикальная ось ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что  ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64357  (#10.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями