ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 64360  (#11.2)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Элементы пирамиды (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Шмаров В.

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64346  (#9.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64353  (#10.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий     Решение

Задача 64361  (#11.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий     Решение

Задача 64347  (#9.4)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Ломаные ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .