Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64360  (#11.2)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Элементы пирамиды (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64346  (#9.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Затем под каждым числом a_i написали число b_i, полученное прибавлением к a_i наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b₁, b₂, ..., b₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64353  (#10.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64361  (#11.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64347  (#9.4)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Ломаные ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A₀A₁A₂...A_n, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями