Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 915]

Задача 64471

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что CK || AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64474

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Прокопенко Д.

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64477

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64740

Темы:	[	Окружность Аполлония	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Белухов Н.

В треугольнике ABC AL_a и AM_a – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ω_a – окружность, симметричная описанной окружности Ω_a треугольника AL_aM_a относительно середины BC. Окружность ω_b определена аналогично. Докажите, что ω_a и ω_b касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64811

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Авторы: Белухов Н., Герджиков С.

Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 915]