Версия для печати
Убрать все задачи

---

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.

   Решение

---

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64804  (#9.1)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что  AC > BD  тогда и только тогда, когда  (AD – BC)(AB – CD) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64805  (#9.2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Радикальная ось ] [ Средняя линия треугольника ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD углы A и C – прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину K диагонали AC

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64806  (#9.3)

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64807  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64808  (#9.5)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В треугольнике ABC  ∠B = 60°,  O – центр описанной окружности, BL – биссектриса. Описанная окружность треугольника BOL пересекает описанную окружность треугольника ABC вторично в точке D. Докажите, что  BD ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями