Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть AHa и BHb – высоты, а ALa и BLb – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что  HaHb || LaLb.  Верно ли, что  AC = BC?

Вниз   Решение


Докажите, что равенство   =   равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид  0,(a1a2...an).

ВверхВниз   Решение


Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом

Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?

ВверхВниз   Решение


Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.

ВверхВниз   Решение


Кащей Бессмертный загадывает три натуральных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: XYZ, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ, затем Иван Царевич говорит еще один набор чисел xyz и Кащей сообщает ему сумму ax + by + cz. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

ВверхВниз   Решение


По заданной последовательности положительных чисел  q1,..., qn, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f0(x) = 1,
    f1(x) = x,
      ...
    fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

ВверхВниз   Решение


Найдите     если   .

ВверхВниз   Решение


Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

ВверхВниз   Решение


Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.

 

ВверхВниз   Решение


Колода перфокарт четырёх цветов разложена в один ряд. Если две перфокарты одного цвета лежат рядом или через одну, то можно выбрасывать ту из них, которая левее. Кроме того, можно подкладывать справа любое количество перфокарт из других колод. Доказать, что можно подкладывать и выбрасывать перфокарты таким образом, чтобы в конце концов их осталось только четыре.

ВверхВниз   Решение


Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками.
Сколько стоила одна книга?

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Описанная окружность треугольника A1BC1 пересекает прямые B1A1 и B1C1 в точках A0 и C0 соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A0BC0, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



Задача 78470  (#10.1.1)

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65171  (#10.1.2)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.
Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65172  (#10.1.3)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65173  (#10.2.1)

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Найдите     если   .

Прислать комментарий     Решение

Задача 65174  (#10.2.2)

Темы:   [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде АВСDA'B'C'D'  АВ = ВС = а,  AA' = b.  Его ортогонально спроектировали на некоторую плоскость, содержащую ребро CD. Найдите наибольшее значение площади проекции.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .