Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 65160 (#1)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x²⁰¹⁵.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65203 (#2)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

На основании AC равнобедренного треугольника ABC взяли произвольную точку X, а на боковых сторонах – точки P и Q так, что XPBQ – параллелограмм. Докажите, что точка Y, симметричная точке X относительно PQ, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65166 (#3)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

а) В таблицу 2×n (где n > 2) вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.
б) В таблицу 100×100 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65163 (#4)

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65196 (#5)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]