Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

---

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором  AE || CD  и  $AB = BC$.  Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что  BK || AE.

   Решение

---

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

   Решение

---

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые приблизительно равны? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются приблизительно равными, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что  AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?

   Решение

---

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

   Решение

---

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

   Решение

---

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
  а) волшебник может это сделать;
  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
  в) существует единственный путь, обходящий все города;
  г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

   Решение

---

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65555  (#1)

Темы:   [ Треугольники (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65556  (#2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что  AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65557  (#3)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65558  (#4)

Темы:   [ Средние величины ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и ^x/_y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65559  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Подобие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что  BM·CN > KM·KN.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями