Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]

Задача 66071 (#1)

Тема:

[

Ребусы

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Автор: Бакаев Е.В.

Замените в выражении AB^C = DE^F буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз.
(AB^C – двузначное число из цифр A и B, возведённое в степень C. Достаточно привести один способ замены.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 66072 (#2)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Маркелов С.В.

На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66073 (#3)

Темы:	[	Доказательство от противного	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Френкин Б.Р.

По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66112 (#4)

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Обухов Б.

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также AD = BE = CF. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66075 (#5)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Высоканов Б., Медведь Н.Ю., Брагин В.

Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·⁴⁰/₁₀₀ = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]