Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть AH_a и BH_b – высоты, а AL_a и BL_b – биссектрисы треугольника ABC. Известно, что  H_aH_b || L_aL_b.  Верно ли, что  AC = BC?

   Решение

---

Докажите, что равенство   =   равносильно тому, что десятичное представление дроби ¹/_m имеет вид  0,(a₁a₂...a_n).

   Решение

---

Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом

Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?

   Решение

---

Даны две треугольные пирамиды ABCD и A'BCD с общим основанием BCD, причем точка A' лежит внутри пирамиды ABCD. Доказать, что сумма плоских углов при вершине A' пирамиды A'BCD больше суммы плоских углов при вершине A пирамиды ABCD.

   Решение

---

Кащей Бессмертный загадывает три натуральных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ, затем Иван Царевич говорит еще один набор чисел x, y, z и Кащей сообщает ему сумму ax + by + cz. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

   Решение

---

По заданной последовательности положительных чисел  q₁,..., q_n, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f₀(x) = 1,
    f₁(x) = x,
      ...
    f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

   Решение

---

Найдите     если   .

   Решение

---

Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

   Решение

---

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

   Решение

---

Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.

 

   Решение

---

Колода перфокарт четырёх цветов разложена в один ряд. Если две перфокарты одного цвета лежат рядом или через одну, то можно выбрасывать ту из них, которая левее. Кроме того, можно подкладывать справа любое количество перфокарт из других колод. Доказать, что можно подкладывать и выбрасывать перфокарты таким образом, чтобы в конце концов их осталось только четыре.

   Решение

---

Давным-давно девять одинаковых книг стоили 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоили 15 рублей с копейками.
Сколько стоила одна книга?

   Решение

---

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Описанная окружность треугольника A₁BC₁ пересекает прямые B₁A₁ и B₁C₁ в точках A₀ и C₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A₀BC₀, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66141  (#1)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66142  (#2)

Темы:   [ Пирамида (прочее) ] [ Перпендикулярные плоскости ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66143  (#3)

Темы:   [ Построения одной линейкой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости даны неравнобедренный треугольник, его описанная окружность, и отмечен центр его вписанной окружности.
Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66144  (#4)

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC как на диаметре, касается его вписанной окружности тогда и только тогда, когда сторона AB равна радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66145  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Замечательное свойство трапеции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Описанная окружность треугольника A₁BC₁ пересекает прямые B₁A₁ и B₁C₁ в точках A₀ и C₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A₀BC₀, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями