Версия для печати
Убрать все задачи

---

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна  60^o.

   Решение

---

Докажите, что при инверсии с центром O окружность, проходящая через O, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через O, — в окружность.

   Решение

---

Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66204  (#1)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66299  (#8.1)

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD, в котором  AB = BC  и  AD = CD,  вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что  PQ || AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66306  (#9.1)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение  AK : BK  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66314  (#10.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а O_a, O_b – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка O_aO_b лежит на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66205  (#2)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность отсекает от прямоугольника ABCD четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых A₀, B₀, C₀ и D₀ соответственно.
Докажите, что отрезки A₀C₀ и B₀D₀ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями