Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Впишите в данный остроугольный треугольник ABC
квадрат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB
и AC, а вершины L и M — на стороне BC.
а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
взята точка O, из которой его стороны видны под углом
120o.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна
(a2 + b2 + c2)/2 + 2S.
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.
На дуге BC окружности, описанной около равностороннего
треугольника ABC, взята произвольная точка P.
Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите,
что
1/PQ = 1/PB + 1/PC.
В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.
Прямые AP, BP и CP пересекают описанную
окружность треугольника ABC в точках A2, B2 и C2; A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно
треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что
A1B1C1
A2B2C2.
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC.
Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите,
что треугольник APQ правильный.
В треугольник
Ta = A1A2A3 вписан
треугольник
Tb =
B1B2B3, а в треугольник Tb вписан
треугольник
Tc =
C1C2C3, причем стороны
треугольников Ta и Tc параллельны. Выразите площадь
треугольника Tb через площади треугольников Ta и Tc.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn + axn–2 (n ≥ 2) делится на x – 2 ?
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так,
что
=
. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C.
Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1;
K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы
треугольника KLM равны
30o,
60o и
90o.
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 67326 |
|
|
Среди своих старых рисунков Катя нашла несколько картинок с разноцветным зонтиком. Катя помнит, что рисовала один и тот же зонтик (вид сверху), только повёрнутый по-разному. К сожалению, от времени краска частично выцвела.
Помогите Кате восстановить, в каком порядке располагались цвета на зонтике, если идти от 1 (розового) по часовой стрелке.
|
|
Решение |
Задача 67327 |
|
|
В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.
|
|
Решение |
Задача 67328 |
|
|
В спорткомплексе 99 шкафчиков с номерами от 01 до 99. На браслете с ключом цифры написаны по образцу на рисунке:
По браслету непонятно, где низ, а где верх, и поэтому иногда нельзя однозначно определить номер своего шкафчика (например, браслеты, соответствующие номерам 10 и 01, выглядят одинаково). Мише выдали один из ключей. В скольких случаях из 99 он, посмотрев на браслет, не сможет однозначно определить номер своего шкафчика?
|
|
|
Решение |
Задача 67329 |
|
|
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
|
|
|
Решение |
Задача 67330 |
|
|
По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
