Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.

   Решение

---

Требуется вычислить количество N-значных чисел в системе счисления с основанием K, таких что их запись не содержит двух подряд идущих нулей.
Ограничения: 2 <= K <= 10, N + K <= 18.
Формат входных данных
Числа N и K в десятичной записи, разделенные пробелом или переводом строки.
Формат выходных данных
Искомое число в десятичной записи.

   Решение

---

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A', B', C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67399  (#1)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене $P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0$ лишь то, что многочлен $P(x) + P(-x)$ имеет ровно 45 различных действительных корней. Барон, не зная даже, чему равно $n$, утверждает, что может определить один из коэффициентов $a_n$, ..., $a_1$, $a_0$ (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67400  (#2)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67401  (#3)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на $2^{100}$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67402  (#4)

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A', B', C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67403  (#5)

Тема:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

У девяти фермеров есть клетчатое поле 9×9, огороженное по периметру забором и сплошь заросшее ягодами (в каждой точке поля, кроме точек забора, растёт ягода). Фермеры поделили поле между собой по линиям сетки на 9 участков равной площади (каждый участок – многоугольник), но границы отмечать не стали. Каждый фермер следит только за ягодами внутри (не на границе) своего участка, а пропажу замечает, только если у него пропали хотя бы две ягоды. Всё это известно вороне, но где проходят границы между участками, она не знает. Может ли ворона утащить с поля 8 ягод так, чтобы пропажу гарантированно ни один фермер не заметил?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями