Версия для печати
Убрать все задачи

---

У Паши и Миши есть квадратная таблица $100\times100$, в каждой клетке которой стоит либо плюс, либо минус. Паша и Миша по очереди вычёркивают: Паша — ещё не вычеркнутую строку, а Миша — ещё не вычеркнутый столбец, пока не останется всего одна невычеркнутая клетка. Если в ней стоит плюс, то выиграл Паша, а если минус — Миша. Могла ли таблица оказаться такой, что в этой игре, кто бы её ни начинал — Паша или Миша, — способ гарантировать себе победу имеется
а) у того, кто ходит вторым;
б) у начинающего?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67592  (#1)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

В 12-значном числе $A$ любые две соседние цифры образуют двузначное простое число, причём все эти 11 простых чисел различны.
а) На какую цифру оканчивается число $A$?
б) Приведите пример такого числа $A$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67593  (#2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $C$ равны $120^\circ$. На стороне $AD$ нашлась точка, из которой остальные стороны видны под равными углами. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67594  (#3)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

У Паши и Миши есть квадратная таблица $100\times100$, в каждой клетке которой стоит либо плюс, либо минус. Паша и Миша по очереди вычёркивают: Паша — ещё не вычеркнутую строку, а Миша — ещё не вычеркнутый столбец, пока не останется всего одна невычеркнутая клетка. Если в ней стоит плюс, то выиграл Паша, а если минус — Миша. Могла ли таблица оказаться такой, что в этой игре, кто бы её ни начинал — Паша или Миша, — способ гарантировать себе победу имеется
а) у того, кто ходит вторым;
б) у начинающего?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67595  (#4)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

а) В тридевятом царстве $n$ городов. Иван-царевич строит дороги по одной (сначала дорог нет). Каждый раз он выбирает два города, не соединённых напрямую дорогой, расстояние между которыми наименьшее, и соединяет их прямолинейной дорогой. Строительство заканчивается, когда становится возможным проехать из любого города в любой (напрямую или через другие города). Обязательно ли никакие две построенные дороги не будут пересекаться вне городов?
б) Тот же вопрос, если каждый раз выбираются два ближайших друг к другу города, между которыми невозможен проезд (даже через другие города).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67596  (#5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при некотором натуральном $N$ строго между соседними кубами $N^3$ и $(N+1)^3$ находится ровно $1000$ точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями