Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 73668 (#М133)

Тема:

[

Формула Эйлера. Эйлерова характеристика

]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Маресин В.

Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Не можете ли вы объяснить этот факт?

Прислать комментарий Решение

Задача 73669 (#М134)

Темы:	[	Основные свойства центра масс	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Теорема о группировке масс	]
	[	ГМТ с ненулевой площадью	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Л.Г.Макаров

Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

Прислать комментарий Решение

Задача 73670 (#М135)

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Маресин В.

Для каждого натурального n > 1 существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + ^π/_n, синуса числа
x + ^2π/_n, ..., наконец, синуса числа x + ^{(n – 1)π}/_n равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73671 (#М136)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Взвешивания	]
	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Федоров В.П.

Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73672 (#М137)

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства:

а) S ≤ ab + cd;

б) S ≤ ac + bd.

в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]