Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 73662 (#М127)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57647 (#М128)

Темы:	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Прислать комментарий Решение

Задача 73664 (#М129)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Принцип крайнего	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Ушаков В. Г.

а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам a + b литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и a + b литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73665 (#М130)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Метод ГМТ в пространстве	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Движение помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Объем помогает решить задачу	]

Сложность: 10-
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Прислать комментарий Решение

Задача 73667 (#М132)

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

По окружности выписаны n чисел x₁, x₂, ..., x_n, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0, x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0, x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]