Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1955 год
>>
10 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Вычислите производящие функции следующих
последовательностей:
| а) an = n; б) an = n2; в) an = Cmn. |
Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?
а) (1 + x)-1; б) (1 - x)-1; в) (1 - x)-2.
На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определённое число рукопожатий.
Докажите, что число людей, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.
В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.
В квадрате 25×25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам.
Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.
Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x4 + y4 = 1.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78039 (#1) |
|
|
Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.
|
|
Решение |
Задача 78036 (#2) |
|
|
Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x4 + y4 = 1.
|
|
|
Решение |
Задача 78040 (#3) |
|
|
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
|
|
|
Решение |
Задача 78038 (#4) |
|
|
Дан
ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся
произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.
|
|
Решение |
Задача 78041 (#5) |
|
|
Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
