Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а) an = n;    б) an = n2;    в) an = Cmn.

   Решение

---

Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?

   Решение

---

Вычислите:

а) (1 + x)^-1;     б) (1 - x)^-1;    в) (1 - x)^-2.

   Решение

---

На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?

   Решение

---

Каждый из людей, когда-либо живших на земле, сделал определённое число рукопожатий.
Докажите, что число людей, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно.

   Решение

---

В таблице 8×8 все четыре угловые клетки закрашены чёрным цветом, все остальные – белым. Докажите, что с помощью перекрашивания строк и столбцов нельзя добиться того, чтобы все клетки стали белыми. Под перекрашиванием строки или столбца понимается изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

   Решение

---

В квадрате 25×25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам.
Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

   Решение

---

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78039  (#1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78036  (#2)

Тема:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x⁴ + y⁴ = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78040  (#3)

Темы:   [ Аффинные преобразования и их свойства ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 11

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78038  (#4)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дан ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78041  (#5)

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями