Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]

Задача 78152

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Доказать, что если целое n > 2, то (n!)² > nⁿ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78154

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
Темы:	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Из бумаги вырезан многоугольник. Две точки его границы соединяются отрезком, по которому многоугольник складывается. Доказать, что периметр многоугольника, получающегося после складывания, меньше периметра исходного многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 78155

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Для любых чисел a₁ и a₂, удовлетворяющих условиям a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 0, a₁ + a₂ = 1, можно найти такие числа b₁ и b₂, что b₁ ≥ 0, b₂ ≥ 0, b₁ + b₂ = 1,
(⁵/₄ – a₁)b₁ + 3(⁵/₄ – a₂)b₂ > 1. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78130

Темы:	[	Симметричная стратегия	]
Темы:	[	Системы линейных уравнений	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется система уравнений

*x + *y + *z = 0,
*x + *y + *z = 0,
*x + *y + *z = 0.

Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78133

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны точки A и B. Построить такой квадрат, чтобы точки A и B лежали на его границе и сумма расстояний от точки A до вершин квадрата была наименьшей.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]