Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]

Задача 78202

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78173

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	ГМТ (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан квадрат со стороной 1. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжений равна 4.

Прислать комментарий Решение

Задача 78179

Темы:	[	Окружности (построения)	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

Прислать комментарий Решение

Задача 78177

Тема:

[

Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)

]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть a₁ и a₂ — внутренние касательные к этим окружностям, a₃ и a₄ — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a₅ и a₆ — касательные к окружности с центром в O₁, проведённые из точки O₂, a₇ и a₈ — касательные к окружности с центром в точке O₂, проведённые из точки O₁. Обозначим через O точку пересечения a₁ и a₂. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a₃ и a₄, вторая касалась a₅, a₆, a₇, a₈, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

Прислать комментарий Решение

Задача 78201

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее ${\frac{1}{9}}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]