Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1960 год >> 10 класс, 2 тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что

$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$$\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$,    и    $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$.


Вниз   Решение

На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Показать, что  271958 – 108878 + 101528  делится на 26460.

ВверхВниз   Решение

На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.

ВверхВниз   Решение

На плоскости лежат две одинаковые буквы $ \Gamma$. Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'. Длинные палочки разбиты на n равных частей точками A1,..., An - 1; A1',..., An - 1' (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai' пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки X1,..., Xn - 1 образуют выпуклый многоугольник.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место таких точек M, что треугольники ABM и BCM – равнобедренные.

ВверхВниз   Решение

Имеется пять звеньев цепи по 3 кольца в каждом. Какое наименьшее число колец нужно расковать и сковать, чтобы соединить эти звенья в одну цепь?

ВверхВниз   Решение

Разрежьте квадрат на 6 частей и сложите из них три одинаковых квадрата.

ВверхВниз   Решение

M1, M2,..., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника A1A2...A6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, M5M6.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

ВверхВниз   Решение

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

ВверхВниз   Решение

Пусть при инверсии с центром O точка A переходит в A', а точка B – в B'. Докажите, что треугольники OAB и OB'A' подобны.

ВверхВниз   Решение

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABD и CBD равны.

ВверхВниз   Решение

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a1,...,an, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a1 +...+ an = 0.

ВверхВниз   Решение

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 78234  (#1)

Темы:   [ Принцип Дирихле ]
[ Процессы и операции ]
[ Раскладки и разбиения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10,  2A = a1 + a2 + ... + ak,  то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78235  (#2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

6n-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78236  (#3)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78232  (#4)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78237  (#5)

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .