Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?

Докажите, что
а) S³ $\leq$ ( $\sqrt{3}$ /4)³(abc)²;
б) 3h_ah_bh_c $\leq$ 43 $\sqrt{S}$ $\leq$ 3r_ar_br_c.

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$ , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$ .

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A₁B₁C₁/S_ABC $\leq$ 1/4.

Решение

Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики.

Решение

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

Решение

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.

Решение

При каких значениях m уравнения mx – 1000 = 1001 и 1001x = m – 1000x имеют общий корень?

Решение

Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Найдите ГМТ M, для которых AM $\geq$ OM, BM $\geq$ OM, CM $\geq$ OM и DM $\geq$ OM.

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$ . Верно ли, что это отношение не зависит от $k$ ?