Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

---

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

   Решение

---

Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, что отрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.

   Решение

---

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.

   Решение

---

Найдите все положительные числа x₁, x₂, ..., x₁₀, удовлетворяющие при всех  k = 1, 2,..., 10  условию   (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x₁₀) = 1.

   Решение

---

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

   Решение

---

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

   Решение

---

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79564  (#М1184)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Многогранные углы ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79558  (#М1185)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Найдите все положительные числа x₁, x₂, ..., x₁₀, удовлетворяющие при всех  k = 1, 2,..., 10  условию   (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x₁₀) = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 2]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями