Версия для печати
Убрать все задачи
В треугольнике
ABC проведены биссектрисы
AE и
CD . Найдите длины отрезков
AD ,
CE , радиус окружности,
описанной около треугольника
BCD и
расстояние между центрами окружностей, вписанной
в треугольник
ABC и описанной около треугольника
ABC ,
если
AC=2
,
BC=4
,
ACB = 2
arccos 
.
Решение
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при
вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Решение
Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.
Решение
В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль
1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут
прилегать к границам квадрата. Докажите, что
а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться
только об очередном корабле, не думая о будущих;
б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может
возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.
Решение
Пусть x = sin 18°. Докажите, что 4x² + 2x = 1.
Решение
Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?
Решение
Фильтр
