Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 98248 (#М1502)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прямая отрезает от правильного n-угольника со стороной 1 треугольник APQ так, что AP + AQ = 1 (A – вершина n-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.

Прислать комментарий Решение

Задача 98253 (#М1504)

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Грибалко А.В.

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a и ^b/_a + ^c/_b + ^a/_c ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то a = b = c.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98268 (#М1506)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Кондаков Г.В.

а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98259 (#М1508)

Темы:	[	Взвешивания	]
Темы:	[	Троичная система счисления	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Толпыго А.К.

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
а) достаточно четырёх взвешиваний и
б) недостаточно трёх.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]