Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
20 турнир (1998/1999 год)
>>
осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его
измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?
Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра чётна.
Покажите, как разбить пространство
а) на одинаковые тетраэдры,
б) на одинаковые равногранные тетраэдры
(тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные треугольники).
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.
Пусть a, b, c – натуральные числа.
а) Докажите, что если НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5), то a = b.
б) Могут ли НОК(a, b) и НОК(а + с, b + с) быть равны?
На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?
Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?
Числа 1, 2, 3, ..., n записываются в некотором порядке: a1, a2, a3, ..., an. Берётся сумма S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n. Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках a1, a2, a3, ..., an) встретились все целые числа от n до n + 100.
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает
оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на
противоположное – часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б – в А.
Оказалось, что в результате рейтинги всех трёх стран опять выросли (по сравнению
с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). (Так, во
всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.) Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)?
(Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился.)
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?
Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 98416 (#1) |
|
|
Пусть a, b, c – натуральные числа.
а) Докажите, что если НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5), то a = b.
б) Могут ли НОК(a, b) и НОК(а + с, b + с) быть равны?
|
|
Решение |
Задача 98406 (#2) |
|
|
У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.
|
|
Решение |
Задача 108085 (#3) |
|
|
Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
|
|
|
Решение |
Задача 98408 (#4) |
|
В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.
|
|
|
Решение |
Задача 98409 (#5) |
|
|
Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
