Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

   Решение

Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра чётна.

   Решение

Покажите, как разбить пространство
  а) на одинаковые тетраэдры,
  б) на одинаковые равногранные тетраэдры
(тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные треугольники).

   Решение

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC, AHB, BHC и AHC, равны между собой.

   Решение

Пусть a, b, c – натуральные числа.
а) Докажите, что если  НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5),  то  a = b.
б) Могут ли  НОК(a, b)  и  НОК(а + с, b + с)  быть равны?

   Решение

На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще. Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

Прислать комментарий

Решение

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что  AC = 1,   BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

Прислать комментарий

Решение

На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ – сколько всего чисел на первой доске, b₁ – сколько там чисел, больших единицы, b₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости нарисован чёрный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного треугольника (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

Прислать комментарий

Решение

Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]