Версия для печати
Убрать все задачи

---

У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких N Али-Баба сможет открыть пещеру?

   Решение

---

Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь     можно сократить на число d.
Каково наибольшее возможное значение d?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98481

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь     можно сократить на число d.
Каково наибольшее возможное значение d?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103856

Темы:   [ Перебор случаев ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105074

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Длины оснований трапеции равны m см и n см (m и n – натуральные числа,  m ≠ n).  Докажите, что трапецию можно разрезать на равные треугольники.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98444

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Трапеции (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.
  а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их точкой пересечения?
  б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98445

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие:  a + b + c = 0.  Для каждой такой тройки вычисляется число
d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.   Может ли случиться, что
  а)  d = 2?
  б) d – простое число?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями