Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

   Решение

---

В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет.
а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами.
б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30394  (#037)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

p и  p² + 2  – простые числа. Докажите, что  p² + 2  – также простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30395  (#038)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что не существует таких натуральных чисел a и b, что  a² – 3b² = 8.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30396  (#039)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа?

б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30397  (#040)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30398  (#041)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

p,  4p² + 1  и  6p² + 1  – простые числа. Найдите p.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями