Страница:
<< 223 224 225 226
227 228 229 >> [Всего задач: 1255]
Задача
61413
(#10.062)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
Задача
61414
(#10.063)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если α < 0 < β, то
Sα(x) ≤ S0(x) ≤ Sβ(x), причём 
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
Задача
61415
(#10.064)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что если α < β, то Sα(x) ≤ Sβ(x), причём равенство возможно только когда x1 = x2 = ... = xn.
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
Задача
61416
(#10.065)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите неравенства:
а) x4 + y4 + z4 ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
г) x5 + y5 ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.
Задача
61417
(#10.066)
|
|
Сложность: 3-
Классы: 10,11
|
Определение. Пусть α = (k, j, i) – набор целых неотрицательных чисел, k ≥ j ≥ i. Через Tα(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида xaybzc по всем шести перестановкам (a, b, c) набора (k, j, i).
Аналогично определяются многочлены Tα для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
Запишите через многочлены вида Tα неравенства
а) x4y + y4x ≥ x³y² + x²y³;
б) x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.
Страница:
<< 223 224 225 226
227 228 229 >> [Всего задач: 1255]
Фильтр
