ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 58401

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 выбраны так, что треугольники BA1C, CB1A и AC1B собственно подобны. Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120o при вершинах A1, B1 и C1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58402

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A1A2...An с центром O внешним образом построены квадраты Aj + 1AjBjCj + 1 (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно 2$ \bigl($1 - cos(2$ \pi$/n)$ \bigr)$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58396

 [Неравенство Птолемея]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Комплексные числа в геометрии ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB . CD + BC . AD$ \ge$AC . BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A1, A2, ...A6 — произвольные точки плоскости, то

\begin{multline*}
A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le
A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_...
...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6.
\end{multline*}


в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A1...A6 — вписанный шестиугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58403

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58404

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc$ \bar{z}$$ \bar{w}$ = a + b + c (Морли).
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .