Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны натуральные числа m и n. Докажите, что число  2ⁿ – 1  делится на число  (2^m – 1)²  тогда и только тогда, когда число n делится на число  m(2^m – 1).

   Решение

---

Пусть AC – большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что  AB·AE + AD·AF = AC².

   Решение

---

Получите формулу для корня уравнения  x³ + px + q = 0:
    x = + .

   Решение

---

Участок m×n. Прямоугольный участок размера m×n разбит на квадраты 1×1. Каждый квадрат является отдельным участком, соединенным калитками с соседними участками. При каких размерах участка можно обойти все квадратные участки, побывав в каждом по одному разу, и вернуться в первоначальный?

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 76]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61382  (#10.031)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите неравенство для положительных значений переменных:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61383  (#10.032)

Тема:   [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите для положительных значений переменных неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61384  (#10.033)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство   3(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) ≥ (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃)  при  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃,  b₁ ≥ b₂ ≥ b₃.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61385  (#10.034)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Инварианты и полуинварианты ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что если   a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n,   b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n,   то наибольшая из сумм вида   a₁b_k1 + a₂b_k2 + ... + a_nb_kn     (k₁, k₂, ..., k_n – перестановка чисел
1, 2, ..., n),  это сумма   a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n,   а наименьшая – сумма   a₁b_n + a₂b_n–1 + ... + a_nb₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61386  (#10.035)  [Неравенство Чебышёва]

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство Чебышёва     при условии, что   a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n   и
b₁ ≥ b₂ ≥ ... ≥ b_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 76]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями