ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 61040  (#06.117)

Темы:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Решите системы:

а)  

б)  x(y + z) = 2,  y(z + x) = 2,  z(x + y) = 3;

в)  x2 + y2 + x + y = 32,  12(x + y) = 7xy;

г)  

д)  x + y + z = 1,  xy + xz + yz = –4,  x3 + y3 + z3 = 1;

е)  x2 + y2 = 12,  x + y + xy = 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61041  (#06.118)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена  x4ax3bx + c.  Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена  x4ax3bx + c.  Найдите все такие многочлены.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61042  (#06.119)

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a4 + 2b4 + 2c4  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61043  (#06.120)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  ax3 + bx2 + cx + d = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61044  (#06.121)

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

При каких a и b уравнение  x3 + ax + b = 0  имеет три различных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .