ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]      



Задача 60722  (#04.096)

 [Теорема Клемента]
Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий     Решение

Задача 78190  (#04.097)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дано n чисел, x1, x2, ..., xn, при этом  xk = ±1.  Доказать, что если  x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,  то n делится на 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60724  (#04.098)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
  а)  x² + y² = 2003;
  б)  12x + 5 = y²;
  в)   – x² + 7y³ + 6 = 0;
  г)  x² + y² + z² = 1999;
  д)  15x² – 7y² = 9;
  е)  x² – 5y + 3 = 0;
  ж)   
  з)  8x³ – 13y³ = 17.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30397  (#04.099)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60726  (#04.100)

 [Гармонические числа]
Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа  Hn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n  при  n > 1  не будут целыми.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .