Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вам пришло зашифрованное сообщение: Ф В М Ё Ж Т И В Ф Ю Найдите исходное сообщение, если известно, что шифрпреобразование заключалось в следующем. Пусть x₁, x₂ - корни трехчлена x²+3x+1. К порядковому номеру каждой буквы в стандартном русском алфавите (33 буквы) прибавлялось значение многочлена f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴+x³+4x²+4x+3, вычисленное либо при x=x₁, либо при x=x₂ (в неизвестном нам порядке), а затем полученное число заменялось соответствующей ему буквой. (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

   Решение

---

Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа n³ равняться 1000000?

   Решение

---

Окружность пересекает стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂ соответственно. Докажите, что если перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через точки A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры к сторонам, проведенные через A₂, B₂ и C₂, тоже пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60669  (#04.043)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите утверждение обратное тому, что было в задаче 60668:
     если    делится на n при всех  1 ≤ k ≤ n – 1,  то n – простое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60670  (#04.044)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

а) Докажите, что если p — простое число и  2 ≤ k ≤ p – 2,  то    делится на p.

б) Верно ли обратное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60671  (#04.045)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что если p – простое число, то   (a + b)^p – a^p – b^p   делится на  p при любых целых a и b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60672  (#04.046)

Темы:   [ Инварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103964  (#04.047)  [Делимость на n]

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями