Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 810]

Задача 34968

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого числа d, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на d.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34991

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На прямой дано 50 отрезков.
Докажите, что либо некоторые восемь отрезков имеют общую точку, либо найдутся восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 34997

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ + c²⁰⁰⁰ + d²⁰⁰⁰ составное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35035

Темы:	[	Гомотетичные окружности	]
Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB (С - точка на дуге AB) этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и дуги ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.

Прислать комментарий Решение

Задача 35143

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 810]