Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73637  (#М102)

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Метод ГМТ ] [ Системы точек ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73638  (#М103)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Замена переменных ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78791  (#М105)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Деление с остатком ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число c_k, что   ≥ c_k  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение c_k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73641  (#М106)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство  (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,  то квадратные трёхчлены
x² + p₁x + q₁  и  x² + p₂x + q₂  имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642  (#М107)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями