Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом
отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка.
Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой
противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д.
Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Набор чисел A1, A2, ..., A100 получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
B1 = A1, B2 = A1 + A2, B3 = A1 + A2 + A3, ..., B100 = A1 + A2 + A3 + ... + A100.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел B1, B2, ..., B100 найдутся 11 различных.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины
и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются
только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить
все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок
состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.
б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]
Фильтр
