Каталог по источникам

Выбрано 12 задач

Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

Решение

Автор: Саблин А.

Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50 фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу – на одну монету больше. Какова наименьшая возможная цена покупки?

Решение

На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы
а) ровно 4 клетки? б) ровно 5 клеток? в) все 8 клеток?

Решение

Докажите, что составное число n всегда имеет делитель, больший 1, но не больший .

Решение

На столе лежат в ряд пять монет: средняя – орлом вверх, а остальные – решкой вверх. За одну операцию разрешается одновременно перевернуть ровно три монеты, лежащие рядом. Можно ли, выполнив такую операцию несколько раз, добиться того, чтобы все пять монет лежали орлом вверх?

Решение

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

Решение

Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t – наименьшее число, при котором 10^t – 1 делится на n.
Докажите, что t кратно длине периода дроби ^m/_n.
Будет ли это длина периода?

Решение

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что 1 + x⁴ ≤ 2(y – z)² 1 + y⁴ ≤ 2(z – x)², 1 + z⁴ ≤ 2(x – y)².

Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?

Решение

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵ + 5². Является ли изумительным число 2006?

Решение

Задача 107802

Задача 108009

Задача 108114

Задача 98279

Задача 98286