Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дано равенство (am1 – 1)...(amn – 1) = (ak1 + 1)...(akl + 1), где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
По периметру круглого торта диаметром n/p метров расположены n вишенок. Если на концах
некоторой дуги находятся вишенки, то количество остальных вишенок на этой дуге
меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите, что торт можно разрезать на n
равных секторов так, что в каждом куске будет по вишенке.
Пусть
M – точка пересечения медиан треугольника
ABC .
На перпендикулярах, опущенных из
M на стороны
BC ,
AC и
AB , взяты точки
A1
,
B1
и
C1
соответственно,
причём
A1
B1
MC и
A1
C1
MB .
Докажите, что точка
M является точкой пересечения медиан и
в треугольнике
A1
B1
C1
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:
"Я дам
вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и
общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в
которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить
лампу как включенной, так и выключенной.
Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в
комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ - скормлю
всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут - если будете молчать,
то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет
последним."
Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом
ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
Фильтр
