Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 403 404 405 406 407 408 409 >> [Всего задач: 4557]

Задача 60729

Тема:

[

Китайская теорема об остатках

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите что если (m, n) = 1, то сравнение a ≡ b (mod mn) равносильно одновременному выполнению двух сравнений a ≡ b (mod m) и a ≡ b (mod n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60733

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть числа x₁, x₂, ..., x_m образуют полную систему вычетов по модулю m. Для каких a и b числа y_j = ax_j + b (j = 1, ..., m) также образуют полную систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60735

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Докажите, что
а) делится на 13;
б) делится на 17.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60736

[Малая теорема Ферма]

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + ... + 1)^p посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60737

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, p ≠ 2, 5. Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 403 404 405 406 407 408 409 >> [Всего задач: 4557]