Страница: << 513 514 515 516 517 518 519 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60783

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что при любом целом a
  a)  a⁵ – a  делится на 30;
  б)  a¹⁷ – a  делится на 510;
  в)  a¹¹ – a  делится на 66;
  г)  a⁷³ – a  делится на 2·3·5·7·13·19·37·73.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60785

Темы:   [ Теорема Эйлера ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что при любом нечётном n число  2^n! – 1  делится на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60788  [Усиление теоремы Эйлера]

Тема:   [ Теорема Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

  – разложение натурального числа m на простые множители. Обозначим  
Докажите, что  a^λ(m) ≡ 1 (mod m)  для любого целого числа a, взаимно простого с m.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60802

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если  n > 6  – чётное совершенное число, то его цифровой корень (см. задачу 60794) равен 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60813

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Двое пишут  а) 30-значное;  б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 513 514 515 516 517 518 519 >> [Всего задач: 4557]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями