Страница:
<< 515 516 517 518
519 520 521 >> [Всего задач: 4557]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Найдите такое наименьшее чётное натуральное число a, что a + 1 делится на 3, a + 2 – на 5, a + 3 – на 7, a + 4 – на 11, a + 5 – на 13.
|
[Китайская теорема об остатках и функция Эйлера]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что число x является элементом приведённой
системы вычетов тогда и только тогда, когда числа a1, ..., an, определённые сравнениями
x ≡ a1 (mod m1), ..., x ≡ an (mod mn) принадлежат приведённым системам вычетов по модулям m1, ..., mn соответственно. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Предположим, что числа m1, ..., mn
попарно взаимно просты. Докажите, что любую правильную дробь вида
можно представить в виде алгебраической
суммы правильных дробей вида ni/mi (i = 1, ..., n).
|
[Больное войско]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Генерал хочет построить для парада своих солдат в одинаковые квадратные каре (конечно, в каре должно быть более одного человека), но он не знает сколько солдат (от 1 до 37) находится в лазарете. Докажите, что у генерала может быть такое количество солдат, что он, независимо от заполнения лазарета, сумеет выполнить свое намерение. Например войско из 9 человек можно поставить в виде квадрата 3×3, а если один человек болен, то в виде двух квадратов
2×2.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что среди чисел [2k
] (k = 0, 1, ...) бесконечно много составных.
Страница:
<< 515 516 517 518
519 520 521 >> [Всего задач: 4557]
Фильтр
